补码(two's complement)
1、在计算机系统中，数值一律用补码来表示(存储)。 主要原因：使用补码，可以将符号位和其它位统一处理;同时，减法也可按加法来处理。另外，两个用补 码表示的数相加时，如果最高位(符号位)有进位，则进位被舍弃。 2、补码与原码的转换过程几乎是相同的。 求给定数值的补码表示分以下两种情况：
(1)正数的补码
与原码相同。 【例1】+9的补码是00001001。
(2)负数的补码
符号位为1，其余位为该数绝对值的原码按位取反;然后整个数加1。 【例2】求-7的补码。 因为给定数是负数，则符号位为“1”。 后七位：+7的原码(0000111)→按位取反(1111000)→加1(1111001) 所以-7的补码是11111001。 已知一个数的补码，求原码的操作分两种情况： (1)如果补码的符号位为“0”，表示是一个正数，其原码就是补码。 (2)如果补码的符号位为“1”，表示是一个负数，那么求给定的这个补码的补码就是要求的原码。 另一种方法求负数的补码如下： 例如：求-15的补码 第一步：+15：00001111 第二步：逐位取反(1变成0，0变成1)，然后在末尾加1。 11110001 再举一个例子验证下：求-64的补码 +64：01000000 11000000 【例3】已知一个补码为11111001，则原码是10000111(-7)。 因为符号位为“1”，表示是一个负数，所以该位不变，仍为“1”。 其余七位1111001取反后为0000110; 再加1，所以是10000111。 在“闲扯原码、反码、补码”文件中，没有提到一个很重要的概念“模”。我在这里稍微介绍一下“模” 的概念： “模”是指一个计量系统的计数范围。如时钟等。计算机也可以看成一个计量机器，它也有一个计量范 围，即都存在一个“模”。例如： 时钟的计量范围是0～11，模=12。 表示n位的计算机计量范围是0～2^(n)-1，模=2^(n)。 “模”实质上是计量器产生“溢出”的量，它的值在计量器上表示不出来，计量器上只能表示出模的 余数。任何有模的计量器，均可化减法为加法运算。 例如： 假设当前时针指向10点，而准确时间是6点，调整时间可有以下两种拨法： 一种是倒拨4小时，即：10-4=6 另一种是顺拨8小时：10+8=12+6=6 在以12模的系统中，加8和减4效果是一样的，因此凡是减4运算，都可以用加8来代替。 对“模”而言，8和4互为补数。实际上以12模的系统中，11和1，10和2，9和3，7和5，6和6都有这个特 性。共同的特点是两者相加等于模。 对于计算机，其概念和方法完全一样。n位计算机，设n=8， 所能表示的最大数是11111111，若再 加1称为100000000(9位)，但因只有8位，最高位1自然丢失。又回了00000000，所以8位二进制系统的 模为2^8。 在这样的系统中减法问题也可以化成加法问题，只需把减数用相应的补数表示就可以 了。把补数用到计算机对数的处理上，就是补码。 另外两个概念 一的补码(one's complement) 指的是正数=原码,负数=反码 而二的补码(two's complement) 指的就是通常所指的补码。
(3).补码的绝对值(称为真值)
【例4】-65的补码是10111111 若直接将10111111转换成十进制，发现结果并不是-65，而是191。 事实上，在计算机内，如果是一个二进制数，其最左边的位是1，则我们可以判定它为负数，并且是用补码表示。 若要得到一个负二进制数的绝对值(称为真值)，只要各位(包括符号位)取反，再加1，就得到真值。 如：二进制值：10111111(-65的补码) 各位取反：01000000 加1：01000001(+65的补码)
代数加减运算
1、补码加法
[X+Y]补 = [X]补 + [Y]补 【例5】X=+0110011,Y=-0101001，求[X+Y]补 [X]补=00110011 [Y]补=11010111 [X+Y]补 = [X]补 + [Y]补 = 00110011+11010111=00001010 注：因为计算机中运算器的位长是固定的，上述运算中产生的最高位进位将丢掉，所以结果不是 100001010，而是00001010。
2、补码减法
[X-Y]补 = [X]补 - [Y]补 = [X]补 + [-Y]补 其中[-Y]补称为负补，求负补的方法是：所有位(包括符号位)按位取反;然后整个数加1。 【例6】1+(-1) [十进制] 1的原码00000001 转换成补码：00000001 -1的原码10000001 转换成补码：11111111 1+(-1)=0 00000001+11111111=00000000 00000000转换成十进制为0 0=0所以运算正确。
3、补码乘法
设被乘数【X】补=X0.X1X2……Xn-1，乘数【Y】补=Y0.Y1Y2……Yn-1, 【X*Y】补=【X】补×【Y】补，即乘数(被乘数)相乘的补码等于补码的相乘。
补码的代数解释
任何一个数都可以表示为-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a; 这个假设a为正数，那么-a就是负数。而根据二进制转十进制数的方法，我们可以把a表示为：a=k0*2^0+k1*2^1+k2*2^2+……+k(n-2)*2^(n-2) 这里k0,k1,k2,k(n-2)是1或者0，而且这里设a的二进制位数为n位，即其模为2^(n-1),而2^(n-1)其二项展开是:1+2^0+2^1+2^2+……+2^(n-2)，而式子：-a=2^(n-1)-2^(n-1)-a中，2^(n-1)-a代入 a=k0*2^0+k1*2^1+k2*2^2+……+k(n-2)*2^(n-2)和2^(n-1)=1+2^0+2^1+2^2+……+2^(n- 2)两式，2^(n-1)-a=(1-k(n-2))*2^(n-2)+(1-k(n-3))*2^(n-3)+……+(1-k2)*2^2+(1- k1)*2^1+(1-k0)*2^0+1,而这步转化正是取反再加1的规则的代数原理所在。因为这里k0,k1,k2,k3……不是0就是1，所以 1-k0,1-k1,1-k2的运算就是二进制下的取反，而为什么要加1，追溯起来就是2^(n-1)的二项展开式最后还有一项1的缘故。而 -a=2^(n-1)-2^(n-1)-a中，还有-2^(n-1)这项未解释，这项就是补码里首位的1，首位1在转化为十进制时要乘上2^(n-1)，这正是n位二进制的模。 不能贴公式，所以看起来很麻烦，如果写成代数式子看起来是很方便的。 注：n位二进制，最高位为符号位，因此表示的数值范围-2^(n-1) ——2^(n-1) -1,所以模为2^(n-1)。上面提到的8位二进制模为2^8是因为最高位非符号位，表示的数值范围为0——2^8-1。 C语言中，就是用补码进行存储和运算的。
