拉普拉斯变换
在电路分析中，如果将换路时刻作为时间的起点，那么我们只需研究
后的电路变量，这样就可以将函数
限定在
的区间。这就相当于将函数乘上了单位阶跃函数，即：
乘以一个衰减因子
，选择适当的
，使得
在区间内绝对可积，则它的傅里叶变换为：
（式9-1-1）
（式9-1-1）的积分下限取为
，令
，则积分结果是S的函数，将（式9-1-1）写为：
（式9-1-2）
（式9-1-2）中的s称为复频率。对于一个时间函数，由（式9-1-2）就可得到一个
，通常将称为原函数，将
称为象函数。
对进行傅里叶反变换，有：
上式两边同乘
，得：
（式9-1-3）
（式9-1-2）、（式9-1-3）是一对拉普拉斯变换式，（式9-1-2）为拉普拉斯正变换，（式9-1-3）为拉普拉斯反变换，常用手写体“L”表示拉普拉斯变换，记为：
，
如果时间函数满足：
（1）
时，
；
（2）
时，和
都分段连续，在有限区间内至多存在有限个间断点；
（3）是指数阶函数，即存在常数
和
，使
，从而使积分
有限，其中
、
，则的拉普拉斯变换存在。电路中常见函数一般都是指数阶函数。
下面按拉普拉斯变换的定义式（式9-1-2）导出一些常用函数的象函数。
一、指数函数
这里应有
。
当
时，成为单位阶跃函数
，于是的拉氏变换为
，记为：
当
时，可得：
二、单位冲激函数
式中利用了的筛分性质，即：
一些常用函数的拉普拉斯变换式详见表9-1-1。
表9-1-1 一些常用函数的拉普拉斯变换
1
（n为正整数）
（n为正整数）
