一、长线复数方程的推导
在正弦激励下，沿线各处的电压、电流在稳态时都是正弦波，故可用相量（复数）表示，记作：
（10-3-1）
（10-3-2）
式中，Im表示取虚部，
、
各为电压、电流相量，只和x有关，以下简写为
、
。将式（10-3-1）、式（10-3-2）代入式（10-2-6）、式（10-2-7），得：
（10-3-3）
（10-3-4）
式中：
（10-3-5）
上式中
分别称为传播系数、衰减系数和相位系数；
是长线的单位长度的串联阻抗，单位是W/m或W/km；
是长线的单位长度的并联导纳，单位是S/m或S/km。
的单位是奈培/公里（Np/km）或奈培/米（Np/m），a 的单位是rad/km或rad/m。
式（10-3-3）、式（10-3-4）是复数形式的齐次常微分方程，其特征方程为：
，特征根为
，故式（10-3-3）的解为：
（10-3-6）
式中，
，
是积分常数，由边值条件决定。
将式（10-2-3）改写为复数形式：
故：
（10-3-7）
式中：
（10-3-8）
称为长线的特性阻抗，单位是
。
为了求式（10-3-6）、式（10-3-7）确定的解，需要知道边界条件。设始端电压、电流各为
、
，代入此两式中：
解得：
（10-3-9）
将、代入式（10-3-6）、式（10-3-7），得到沿线任一点处的电压和电流
。
（10-3-10）
同理可得：
（10-3-11）
现令x=l，l是线长，则终端的电压
和电流
由式（10-3-10）、（10-3-11）得：
（10-3-12）
如已知终端电压、电流，解上式可得始端电压、电流：
（10-3-13）
已知、，也不难求沿线任一点的电压和电流
，只需将式（10-3-13）代入式（10-3-10）、式（10-3-11）中即可：
(10-3-14)
令
是从任一点到终端的距离，上式成为：
（10-3-15）
式（10-3-10）、式（10-3-11）和式（10-3-15）都是长线的基本方程。
二、输入阻抗和长线参数的测试
设传输线长为
，由式（10-3-13）中的两式可求始端输入阻抗为：
（10-3-16）
设负载阻抗
，代入上式：
（10-3-17）
当终端空载时，
，有：
（10-3-18）
当终端短路时,
,有：
(10-3-19)
将
、
代入式（10-3-17）中，得：
（10-3-20）
在上式中，首先用实验的方法测出在终端开路、短路时始端的输入阻抗
、，如再知道负载阻抗
，就可计算此时的始端输入阻抗
。
由式（10-3-18）、式（10-3-19）知：
（10-3-21），
（10-3-22）
又因：
（10-3-23）
合并上两式得：
故：
（10-3-24）
从式（10-3-21）、式（10-3-24），可计算
，于是：
（10-3-25）
又知，
，从和w，可求
。
例10-3-1 某单相均匀传输线的R0=0.08W/km，wL0=0.4W/km，wC0=3´10-6S/km，G0=0，线长
km，负载终端电压130KV，负载消耗功率50MW，负载功率因数0.9（感性），求始端电压、始端电流、输入功率和效率。
解：取终端电压作为参考相量，即
，则终端电流为：
所以：
单位长度的串联阻抗为：
单位长度的并联导纳为：
特性阻抗：
传播系数：
*
*本书后面述及的方程，在计算过程中如无特殊说明，均为数值方程。a 单位为rad/km，b 单位为Np/km，g 单位为1/km，l 单位为km。
始端电压为160kV，始端电流为370A，始端功率P1为：
传输效率：
